Question

упростите выражение sin(п/3+а)+sin(п/3-а)

Answer 1

Изначально воспользуемся следующими формулами:

$sin( alpha +beta)=sin alpha cdot cos beta + cos alpha cdot sin beta\ sin( alpha -beta)=sin alpha cdot cos beta - cos alpha cdot sin beta$

Получим:
$sin ( frac{ pi }{3}+ alpha )=sin frac{ pi }{3} cdot cos alpha + cos frac{ pi }{3} cdot sin alpha=frac{ sqrt{3} }{2} cdot cos alpha + frac{ 1}{2} cdot sin alpha\ sin ( frac{ pi }{3}- alpha )=sin frac{ pi }{3} cdot cos alpha - cos frac{ pi }{3} cdot sin alpha=frac{ sqrt{3} }{2} cdot cos alpha - frac{ 1}{2} cdot sin alpha$

Подставляем полученные выражения в наш исходный пример:

$sin ( frac{ pi }{3}+ alpha )+sin ( frac{ pi }{3}- alpha )=\ =frac{ sqrt{3} }{2} cdot cos alpha + frac{ 1}{2} cdot sin alpha+frac{ sqrt{3} }{2} cdot cos alpha - frac{ 1}{2} cdot sin alpha= frac{2 sqrt{3} }{2} cdot cos alpha= sqrt{3} cdot cos alpha$

Answer 2

$sin( frac{ pi }{3} + alpha )+sin( frac{ pi }{3} - alpha )=2 sin frac{ frac{ pi }{3} + alpha+ frac{ pi }{3} - alpha}{2}*cos frac{ frac{ pi }{3} + alpha-( frac{ pi }{3} - alpha)}{2} =$$=2 sin frac{ pi }{3}*cos frac{ frac{ pi }{3} + alpha- frac{ pi }{3}+ alpha}{2} = 2 sin frac{ pi }{3}*cos alpha =2* frac{ sqrt{3} }{2} *cos alpha = sqrt{3} cos alpha$

P. S.
$sin alpha +sin beta =2 sin frac{ alpha + beta }{2} *cos frac{ alpha - beta }{2}$