Question

Труппа театра состоит из n актеров. Известно, что 4-х претендентов на ведущие роли в пьесе можно выбрать числом способов, в 56 раз большим, чем выбрать из той же труппы 2-х претендентов на главные роли. Сколько артистов в труппе?

Answer 1

Вариант прочтения условия № 1.
Пока никто ни на какую роль не выбран, все претенденты одинаковы. Задача - выбрать k человек из n возможных.

Число вариантов выбрать k претендентов из n актеров равно биномиальному коэффициенту из n по k,
$\displaystyle \binom nk=C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}$

$\displaystyle\binom n4=56\binom n2\\\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{12\cdot2!}=56\cdot\frac{n(n-1)}{2!}\\(n-2)(n-3)=12\cdot56$

Легко проверить, что это уравнение не имеет корней в натуральных числах, поэтому (если мы не собираемся извлекать корни из актёров) в таком прочтении задача решения не имеет.

Вариант прочтения условия № 2 (предполагаемый авторами задачи).
Мы выбираем не претендентов, а уже сразу актёров на роли. Тогда на первую роль можно выбрать актёра n способами, на вторую (n - 1), на третью (n - 2) и т.д., если всего ролей k, то получится n! / (n - k)! вариантов.

n (n - 1)(n - 2)(n - 3) = 56n(n - 1)
(n - 2)(n - 3) = 56
n = 10

Ответ. n = 10.

_______________________________________

По моему скромному мнению, второй вариант на самом деле не соответствует условию, так что на лицо просчет составителей задачи.