Question

докажите,что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника

Answer 1

В ромбе сумма тупого и острого угла равна 180 градусам. Пусть острый угол x, а тупой y, тогда 
x+y =180
Рассмотрим правый треугольник, образованный двумя половинами сторон ромба и отрезком, соединяющим середины этих сторон. Он равнобедренный, т.к. его боковые стороны равны половине стороны ромба. Тогда сумма углов при основании равна 
180 - x = y, а каждый угол равен y/2.
Аналогично рассмотрим верхний треугольник, образованный двумя половинами сторон ромба и отрезком, соединяющим середины этих сторон. Он равнобедренной по той же причине, и сумма углов при основании равна 
180 - y =x, а каждый угол равен x/2.
Тогда угол α, образованный основаниями рассмотренных треугольников образует в сумме с углами x/2 и y/2 развернутый угол, т.е.
α+x/2+y/2= 180, но x/2+y/2 = (x+y)/2 = 180/2 = 90, значит, 
α=180-90 = 90
Аналогично для остальных трех углов. А если у четырехугольника все углы прямые, то он является прямоугольником. (То, что стороны попарно равны, видно из равенства соответствующих треугольников, а т.к. углы прямые, то противоположные стороны параллельны).