Question

Решите пожалуйста!!! sin^3х-cos^3x=1+ sin2x/2

Answer 1

$\sin^3x-\cos^3x=1+\dfrac{\sin2x}{2}\\ \\ (\sin x-\cos x)(\sin^2x+\sin x\cos x+\cos^2x)=1+\dfrac{\sin 2x}{2}\\ \\ \Big(\sin x-\cos x\Big)\cdot \left(1+\dfrac{\sin2x}{2}\right)=1+\dfrac{\sin 2x}{2}\\ \\ \\ \left(1+\dfrac{\sin2x}{2}\right)\cdot \Big(\sin x-\cos x-1\Big)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю.

$1+\dfrac{\sin 2x}{2}=0~~~\bigg|\cdot 2\\ \\ 2+\sin 2x=0\\ \\ \sin2x=-2$

Это уравнение решений не имеет, поскольку функция y = sin2x изменяется в пределах от -1 до 1.

$\sin x-\cos x-1=0\\ \\ \sin x-\cos x=1~~~~\bigg|\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \sin x\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos x\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ x-\dfrac{\pi}{4}=(-1)^k\cdot\dfrac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ \\ \boxed{x=(-1)^k\cdot \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}}$