Question

Найдите корни уравнений, принадлежащие данному промежутку:
$2sinx= \sqrt{3}, \\ x[-2 \pi;2 \pi ]$
У меня получились точки: $\frac{ \pi }{3}; -\frac{5 \pi }{3} ; \frac{2 \pi }{3}; -\frac{4\pi}{3}$
в первых двух ответах использовал формулу $arcsina+2 \pi n$
во вторых двух формулу $\pi -arcsina+2 \pi n$
Вроде понятно, но алгоритм действий неточно сформулировал ещё

Answer 1

$2\sin x= \sqrt{3} \\\ \sin x= \frac{ \sqrt{3} }{2} \\\ x=(-1)^k \arcsin\frac{ \sqrt{3} }{2} + \pi k, \ k\in Z\\\ x=(-1)^k \frac{ \pi }{3} + \pi k, \ k\in Z$
Чтобы было удобнее решать неравенство распишем одну серию ответов через две:
$\left[\begin{array} x=\arcsin\frac{ \sqrt{3} }{2}+2 \pi m, \ m\in Z \\ x= \pi -\arcsin\frac{ \sqrt{3} }{2}+2 \pi n, \ n\in Z \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array} x=\frac{ \pi }{3}+2 \pi m, \ m\in Z \\ x=\frac{2 \pi }{3}+2 \pi n, \ n\in Z \end{array}\right.$
Рассматриваем первую серию:
$-2 \pi \leq \frac{ \pi }{3} +2 \pi m \leq 2 \pi \\\ -2 \leq \frac{1 }{3} +2 m \leq 2 \\\ -1 \leq \frac{1 }{6} + m \leq 1 \\\ -1-\frac{1 }{6} \leq m \leq 1-\frac{1 }{6} \\\ -\frac{7 }{6} \leq m \leq \frac{5 }{6} \\\ m=-1: \ x= \frac{ \pi }{3} -2 \pi = \frac{ \pi -6 \pi }{3} =- \frac{5 \pi }{3} \\\ m=0: \ x= \frac{ \pi }{3} +0= \frac{ \pi }{3}$
Вторая серия:
$-2 \pi \leq \frac{2 \pi }{3} +2 \pi n \leq 2 \pi \\\ -2 \leq \frac{2 }{3} +2 n \leq 2 \\\ -1 \leq \frac{1 }{3} + n \leq 1 \\\ -1-\frac{1 }{3} \leq n \leq 1-\frac{1 }{3} \\\ -\frac{4 }{3} \leq n \leq \frac{2 }{3} \\\ n=-1: \ x= \frac{2 \pi }{3} -2 \pi = \frac{ 2\pi -6 \pi }{3} =- \frac{4 \pi }{3} \\\ n=0: \ x= \frac{ 2\pi }{3} +0= \frac{ 2\pi }{3}$
Ответ: -5π/3; -4π/3; π/3; 2π/3