Question

В окружность радиуса 4 см вписан квадрат, в который снова вписана окружность, и т.д. найдите сумму длин всех таких окружностей.

Answer 1

Если вписать квадрат в окуржность, то его диагональ будет диаметром этой окружности (угол опирающийся на диаметр - прямой). Таким образом длина диагонали квадрата вписанного в окружность: $d = a cdot sqrt{2}$, где a - сторона квадрата. Так как диагональ есть диаметр то она равна двум радиусам: $d = 2 cdot R$. Тогда выразим длину стороны квадрата: $2 cdot R = a cdot sqrt{2} \a = frac{2 cdot R}{sqrt{2}}$

 

Если вписать окружность в квадрат, то ее радиус будет равен половине стороны квадрата: $r = frac{a}{2}$. Подставив предыдущую формулу в данную, получим: $r = frac{R}{sqrt{2}}$.

 

Таким образом мы получили бесконечно убывающую геометрическую прогрессию радиусов окружностей. Первый элемент $r_1 = 4$, знаменатель прогресии $q = frac{1}{sqrt{2}}$.

Сумма всех радиусов равна $S_r = frac{r_1}{1 - q } = frac{4}{1 - frac{1}{sqrt{2}}}$.

 

Тогда сумма длин всех окружностей: $C_s = 2 cdot pi cdot S_r = \= 2 cdot pi cdot frac{4}{1 - frac{1}{sqrt{2}}} = \ = frac{8 cdot pi cdot sqrt{2}}{sqrt{2} - 1} = \ = 8 cdot pi cdot sqrt{2} cdot (sqrt{2} + 1)$