Question

Найдите площадь ромба АВСD, если известно, что диагональ АС
равна 4, а радиус вписанной в него окружности равен 4/корень из 5

Answer 1

Пусть О- центр окружности, ОЕ- r; r перпендикулярен к касательной окружности. Тогда △BOC~△OEC, т.к ∠OEC=∠BOC=90 и ∠BCO- общий(по 2 углам).
По теореме Пифагора:
$EC= \sqrt{ 4-\frac{16}{5} }= \sqrt{ \frac{20-16}{5}}= \frac{2}{ \sqrt{5} }$
=> $\frac{OC}{BO}= \frac{EC}{OE}$
$\frac{2}{BO}= \frac{2}{ \sqrt{5} }: \frac{4}{ \sqrt{5} } = \frac{2}{ \sqrt{5} } \frac{ \sqrt{5} }{4}$ 
=0,5; BO=2: 0,5=4 =>BD=8
А т.к AC=4, то $S_{romb}= \frac{ d_{1} d_{2} }{2} = \frac{8*4}{2} =16cm^{2}$