Question

Четырёхугольник ABCD, P и Q - середины сторон BC и AD соответственно.
PQ=(AB+CD)/2 (полусумма противоположных сторон).

Будет ли четырёхугольник ABCD являться трапецией?
(просьба доказать)

Answer 1

Т.к. РQ соединяет середины непересекающихся сторон ВС и АД четырёхугольника, то значит она является средней линией четырехугольника.
Доказано, что средняя линия четырехугольника меньше или равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника, т.е. PQ<(AB+CD)/2  или PQ=(AB+CD)/2. Однако равенство достигается лишь в том случае, когда указанные стороны четырёхугольника параллельны АВ||СД.
Получается,  что у четырехугольника две противоположные стороны АВ и СД параллельны, а 2 другие не параллельны, значит этот четырехугольник по определению называется трапецией. Именно средняя линия трапеции  параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы этих оснований PQ=(AB+CD)/2.