Question

Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции

Answer 1

y=cos²x - √3 sin 2x
                2
1) Производная:
y' = (cos²x)' - (√3 sin 2x)' = -2cosx sinx - √3 * 2 cos 2x =
                       2                                       2
   =-2sinx cosx - √3 cos 2x

2) Стационарные точки (f ' (x)=0):
-2sinx cosx - √3 cos 2x=0
-2sinx cosx - √3(cos²x - sin²x)=0
-2sinx cosx - √3 cos²x +√3 sin²x=0
√3 sin²x - √3 cos²x - 2sinx cosx =   0    
    cos²x       cos²x         cos²x     cos²x
√3 tg²x - √3 - 2 tgx=0
√3 tg²x - 2tgx -√3 =0
Пусть tgx=y
√3 y²-2y-√3=0
D=4-4*√3 * (-√3)=4+12=16
y₁= 2-4   = - 1  = -√3 
      2√3      √3       3
y₂=2+4 = 3  = 3√3 =√3
     2√3    √3     3

tgx= -√3 
         3
x=arctg(-√3)+πn
              3
x=- π +πn
      6

tgx=√3
x=arctg √3 +πn
x= π +πn
     3

3) Отметим точки на числовой прямой и расставим знаки производной:
    +                 -                +
---------- -π ----------- π --------------
               6                3
при х= π     -2sin 2*π   - √3 cos 2 * π =-2sin π -√3 cos π=√3
           2                   2                       2
при х=0       -2 sin 2*0 - √3 cos 2*0=0 - √3= -√3
при х= -π     -2 sin 2 *(-π) -√3cos 2*(-π) =-2sin(-π) -√3cos(-π) =√3
              2                     2                    2

4) x=-π - точка максимума функции
         6
    х=π - точка минимума функции
        3
Ymax=cos²(-π) - √3 sin 2 *(-π) = (√3)² - √3 sin(-π) =3 + √3 * √3 = 6 
                     6      2             6         2       2          6    4     2     2     4

Ymin=cos² π - √3 sin 2 * π = (1)² - √3 * √3 = 1 - 3 = - 2 
                 3       2            3     2        2     2     4   4      4

Ymax + Ymin = 6  -  2  = 1
                          4     4
Ответ: 2 вариант (1).