Question

при каком значении a(а>1) уравнение ax=log x по основанию a имеет единственное решение

Answer 1

Решаем уравнение графически.
Слева у=ах - прямая, проходящая через начало координат.
При a>1 график  расположен в 1 и 3 четвертях
Прямая у=ах образует с осью ох угол от 45 градусов до 90

Справа
$y=log_ax$
При а>1 логарифмическая функция возрастает
Оба графика будут иметь одну точку в случае, если прямая касается графика логарифмической функции
Напишем уравнение касательной к кривой $y=log_ax$
в точке х₀
Находим производную
$f`(x)= \frac{1}{xlna}$
$f`(x_o)= \frac{1}{x_olna}$
$f(x_o)=log_ax_o$

Уравнение касательной:
y= log_ax_o+\frac{1}{x_olna}(x-x_o)[/tex]

Это уравнение прямой
у=ах

Значит
$log_ax_o-\frac{1}{x_olna}\cdot x_o=0$
$\frac{1}{x_olna}=a$
Из первого уравнения системы  находим точку  х₀
$log_ax_o=\frac{1}{lna} \\ x_o=a ^{ \frac{1}{lna} }$
Подставим во второе уранение
$\frac{1}{a ^{ \frac{1}{lna} } lna}=a \\ \frac{1}{lna}=a ^{1+ \frac{1}{lna} }$
Как найти а не понимаю