Предмет: Алгебра,
автор: djonik2
Помогите,пожалуйста,решить два примера.Буду благодарен.
С подробным описанием хода решения,пожалуйста.
Вычислить неопределенный интеграл:
1.![\int\limits \frac{ e^{x} \, dx}{ \sqrt{2+ e^{x} } } \int\limits \frac{ e^{x} \, dx}{ \sqrt{2+ e^{x} } }](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits++%5Cfrac%7B+e%5E%7Bx%7D++%5C%2C+dx%7D%7B+%5Csqrt%7B2%2B+e%5E%7Bx%7D+%7D+%7D+)
2.
Ответы
Автор ответа:
1
Для начала нужно вспомнить что такое дифференциал. Дифференциал от одной переменной, это тоже самое что и производная по этой переменной умноженная на dx.
![\int\frac{e^xdx}{\sqrt{2+e^x}}=[d(2+e^x)=e^xdx\rightarrow dx=\frac{d(2+e^x)}{e^x}]=\\=\int\frac{e^x}{\sqrt{2+e^x}}*\frac{d(2+e^x)}{e^x}=\int(2+e^x)}^{-\frac{1}{2}}d(2+e^x})=\\=\frac{(2+e^x)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=2\sqrt{2+e^x}+C \int\frac{e^xdx}{\sqrt{2+e^x}}=[d(2+e^x)=e^xdx\rightarrow dx=\frac{d(2+e^x)}{e^x}]=\\=\int\frac{e^x}{\sqrt{2+e^x}}*\frac{d(2+e^x)}{e^x}=\int(2+e^x)}^{-\frac{1}{2}}d(2+e^x})=\\=\frac{(2+e^x)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=2\sqrt{2+e^x}+C](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Cfrac%7Be%5Exdx%7D%7B%5Csqrt%7B2%2Be%5Ex%7D%7D%3D%5Bd%282%2Be%5Ex%29%3De%5Exdx%5Crightarrow+dx%3D%5Cfrac%7Bd%282%2Be%5Ex%29%7D%7Be%5Ex%7D%5D%3D%5C%5C%3D%5Cint%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7B%5Csqrt%7B2%2Be%5Ex%7D%7D%2A%5Cfrac%7Bd%282%2Be%5Ex%29%7D%7Be%5Ex%7D%3D%5Cint%282%2Be%5Ex%29%7D%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7Dd%282%2Be%5Ex%7D%29%3D%5C%5C%3D%5Cfrac%7B%282%2Be%5Ex%29%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B1%7D%7D%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B1%7D%2BC%3D2%5Csqrt%7B2%2Be%5Ex%7D%2BC)
![\int\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx=\int\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{1}{2}\int(\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}})dx=\\=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx \int\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx=\int\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{1}{2}\int(\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}})dx=\\=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D%7Ddx%3D%5Cint%5Cfrac%7B2%28x%2B1%29%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%28%5Cfrac%7B2x%2B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D%7D%29dx%3D%5C%5C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%5Cfrac%7B2x%2B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D%7Ddx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D%7Ddx)
Посчитаем интегралы отдельно.
![\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}=[d(x^2+x+1)=(2x+1)dx\rightarrow dx=\frac{d(x^2+x+1)}{2x+1}]=\\=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}*\frac{d(x^2+x+1)}{2x+1}=\frac{1}{2}\int (x^2+x+1)^{-\frac{1}{2}}d(x^2+x+1)=\\=\frac{1}{2}*\frac{(x^2+x+1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=\sqrt{x^2+x+1}+C \frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}=[d(x^2+x+1)=(2x+1)dx\rightarrow dx=\frac{d(x^2+x+1)}{2x+1}]=\\=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}*\frac{d(x^2+x+1)}{2x+1}=\frac{1}{2}\int (x^2+x+1)^{-\frac{1}{2}}d(x^2+x+1)=\\=\frac{1}{2}*\frac{(x^2+x+1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=\sqrt{x^2+x+1}+C](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%5Cfrac%7B2x%2B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D%7D%3D%5Bd%28x%5E2%2Bx%2B1%29%3D%282x%2B1%29dx%5Crightarrow+dx%3D%5Cfrac%7Bd%28x%5E2%2Bx%2B1%29%7D%7B2x%2B1%7D%5D%3D%5C%5C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%5Cfrac%7B2x%2B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D%7D%2A%5Cfrac%7Bd%28x%5E2%2Bx%2B1%29%7D%7B2x%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint+%28x%5E2%2Bx%2B1%29%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7Dd%28x%5E2%2Bx%2B1%29%3D%5C%5C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2A%5Cfrac%7B%28x%5E2%2Bx%2B1%29%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B1%7D%7D%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B1%7D%2BC%3D%5Csqrt%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D%2BC)
Для этого интеграла вспомним такую формулу:
![\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2Ba%5E2%7D%7D%3Dln%7Cx%2B%5Csqrt%7Bx%5E2%2Ba%5E2%7D%7C%2BC)
Я уже не помню как она выводится, поэтому тут вывести не смогу.
Итак приведём наш интеграл к такому виду.
![\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}=\\=[d(x+\frac{1}{2})=dx]=\frac{1}{2}\int\frac{d(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}=\\=\frac{1}{2}*ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}|+C=\\=\frac{1}{2}ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}|+C \frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}=\\=[d(x+\frac{1}{2})=dx]=\frac{1}{2}\int\frac{d(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}=\\=\frac{1}{2}*ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}|+C=\\=\frac{1}{2}ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}|+C](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2Bx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7B%28x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%29%5E2%7D%7D%3D%5C%5C%3D%5Bd%28x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%3Ddx%5D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%5Cfrac%7Bd%28x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%7D%7B%5Csqrt%7B%28x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%29%5E2%7D%7D%3D%5C%5C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2Aln%7Cx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%28x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%29%5E2%7D%7C%2BC%3D%5C%5C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dln%7Cx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D%7C%2BC)
В итоге получаем интеграл:
![...=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx=\\=\sqrt{x^2+x+1}+\frac{1}{2}ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}|+C ...=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx=\\=\sqrt{x^2+x+1}+\frac{1}{2}ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}|+C](https://tex.z-dn.net/?f=...%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%5Cfrac%7B2x%2B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D%7Ddx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D%7Ddx%3D%5C%5C%3D%5Csqrt%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dln%7Cx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D%7C%2BC)
Посчитаем интегралы отдельно.
Для этого интеграла вспомним такую формулу:
Я уже не помню как она выводится, поэтому тут вывести не смогу.
Итак приведём наш интеграл к такому виду.
В итоге получаем интеграл:
djonik2:
Спасибо большое!:)
Похожие вопросы
Предмет: Українська мова,
автор: cmit12
Предмет: Английский язык,
автор: Прост704
Предмет: Русский язык,
автор: Vika4378
Предмет: Математика,
автор: zenmenYT