Question

а) Решите уравнение 3^(1+2tg3x )–10* 3^(tg 3x) + 3 = 0
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-п/2 ; п/2]

Answer 1

3^(1+2tg3x)-10*3^(tg3x)+3=0
3^(1+2tg3x)=3¹ * 3^(2tg3x)=3*(3^(tg3x))²
3*(3^(tg3x))²-10*3^(tg3x)+3=0
3^(tg3x)t, t>0
3t²-10t+3=0
D=64
t₁=1/3, t₂=3
1. 3^(tg3x)=1/3
3^(tg3x)=3⁻¹
tg3x=-1, 3x=-π/4+πn, n∈Z,  x₁=-π/12+πn/3, n∈Z
2. 3^(tg3x)=3
3^(tg3x)=3¹
tg3x=1, 3x=π/4+πn, n∈Z,   x₂=π/12+πn/3, n∈Z

Answer 2

Замена переменной
$3 ^{tg3x}=t \\ \\ 3 ^{2tg3x}=(3 ^{tg3x}) ^{2} =t ^{2}$
Квадратное уравнение
3t²-10t+3=0
D=100-4·3·3=64
t=(10-8)/6=1/3    или    t=(10+8)/6=3
Возвращаемся к переменной х

 $3 ^{tg3x}=\frac{1}{3}$           или        $3 ^{tg3x}=3$
tg 3x = -1                                               или                      tg 3x = 1
$3x= -\frac{ \pi }{4}+ \pi k,k\in Z$     $3x= \frac{ \pi }{4}+ \pi n,n\in Z$
$x= -\frac{ \pi }{12}+ \frac{ \pi }{3} k,k\in Z$      $x= \frac{ \pi }{12}+ \frac{ \pi }{3} n,n\in Z$
указанному промежутку принадлежат  корни
$- \frac{ \pi }{12}- \frac{ \pi }{3}=- \frac{5 \pi }{ 12 } \\ \\- \frac{ \pi }{12}\\ \\- \frac{\pi}{12}+\frac{ \pi }{3}=- \frac{3 \pi }{ 12 } = \frac{ \pi }{4}$
и

$\frac{ \pi }{12}- \frac{ \pi }{3}=- \frac{3 \pi }{ 12 }=-\frac{ \pi }{4}\\ \\ \frac{ \pi }{12} \\ \\\frac{ \pi }{12}+\frac{ \pi }{3}=\frac{ \pi }{ 12 }$
Всего 6 корней