Question

2sin^2 2x + 7cos2x - 3 = 0

Answer 1

$2sin^2 (2x)+7cos(2x)-3=0$
используем формулу косинуса двойного угла
$cos(2A)=1-2sin^2 A$
синуса двойного угла
$sin (2A)=2sin A cos A$
и основное тригонометрическое тождество
$sin^2 A+cos^2 A=1$

при єтом $sin^2 (2x)=(sin(2x))^2=(2sin xcosx)^2=\\\\2^2(sin x)^2(cos x)^2=4sin^2xcos^2 x=4sin^2 x(1-sin^2 x)$
уравнение перепишется в виде
$2* 4sin^2 x(1-sin^2x)+7(1-2sin^2 x)-3=0$
$8sin^2 x-8sin^4 x+7-14sin^2 x-3=0$
$-8sin^4 x-6sin^2 x+4=0$
$4sin^4 x+3sin^2 x-2=0$
вводим замену (учитывая ограниченность синуса)
$sin^2 x=t; -1 \leq sin x \leq 1; 0 \leq sin^2 x \leq 1$
$sin^4 x=(sin^2 x)^2=t^2; 0 \leq t \leq 1$
получим уравнение
$4t^2+3t-2=0$
$D=3^2-4*4*(-2)=9+32=41$
$t_1=\frac{-3-\sqrt{41}}{2*2}<0$ - не подходит
$t_2=\frac{-3+\sqrt{41}}{2*2}=\frac{\sqrt{41}-3}{4}$
итак изначальное уравнение равносильно уравнению
$sin^2 x=\frac{\sqrt{41}-3}{4}$
или используя формулу понижения степени
(а именно $sin^2 A=\frac{1-cos(2A)}{2}$)
получим
$\frac{1-cos(2x)}{2}=\frac{\sqrt{41}-3}{4}$
$2-2cos(2x)=\sqrt{41}-3$
$-2cos(2x)=\sqrt{41}-3-2$
$cos(2x)=\frac{-\sqrt{41}+5}{2}$
$2x=^+_-arccos(\frac{\sqrt{41}-5}{2})+2*\pi*k$
$x=^+_-\frac{1}{2}*arccos(\frac{-\sqrt{41}+5}{2})+\pi*k$, k є Z