Question

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых следующая система уравнений имеет хотя бы одно решение.

Answer 1

Отнимаем одно  уравнение от другого  $4x^2+12xy+9y^2+10x+15y-4ax-6ay+a^2-2a=0\\ (2x+3y)^2+5(2x+3y)-2a(2x+3y)+a^2-2a=0\\ (2x+3y)^2+(2x+3y)(5-2a)+a^2-2a=0 \\ 2x+3y=b\\ b^2+(5-2a)b+a^2-2a=0$ Получили квадратное уравнение $b^2+(5-2a)b+a^2-2a=0\\ D \geq 0\\ D=(5-2a)^2-4*(a^2-2a) \geq 0 \\ a \in (-\infty; \frac{25}{2}]$
Рассмотрим любую из прямых $2x+3y = \frac{2a-5+/-\sqrt{25-12a}}{2}$ вторую можно не рассматривать ,  так как они  симметричны относительно друг - друга   $\left \{ {{2x+3y = \frac{2a-5+\sqrt{25-12a}}{2}\\} \atop {9x^2-6xy+y^2+6x-13y+3=0}} \right.$ выразив со второе и с первой $y$  $y=0.5*(6x-\sqrt{132x+157}+13) \\ y=\frac{2a-5+\sqrt{25-12a}}{3}-\frac{2x}{3}$   первое , уравнение параболы , которая $y\ \textgreater \ 0$ ,  второе уравнение прямой , то есть необходимое условие для первой пары системы равенств , такое  нужно чтобы , прямая была касательная к параболе 
$y=0.5*(6x-\sqrt{132x+157}+13) \\ y=\frac{2a-5+\sqrt{25-12a}}{3}-\frac{2x}{3} \\ \\ y'= 3 -\frac{33}{ \sqrt{132x+157}} \\\\ 3-\frac{33}{ \sqrt{132x+157}} = -\frac{2}{3} \\ x=-\frac{19}{33}\\ y=\frac{3}{11}$ 
подставляя найденные значения в  $y=\frac{2a-5+\sqrt{25-12a}}{2} * \frac{1}{3}-\frac{2x}{3}\\ x=-\frac{19}{33}\\ y=\frac{3}{11}$  
Получаем $a=\frac{2-3\sqrt{2}}{3}$ $; a=\frac{3\sqrt{2}+2}{3}$, значит все решения идут между этими числами . 
2.Теперь со вторым , это фигура второго порядка  Эллипс , так как мы выяснили что $a \leq 12.5$   , значит для данной фигуры, при любых значениях   выше сказанная прямая будет пересекать. 
 
 $a \in [\frac{2-3\sqrt{2}}{3}; \frac{2+3\sqrt{2}}{3}]$