Question

Решите показательное неравенство. По большому счету решение мне не так важно, как важен правильный конечный ответ. Я в самом конце не уверен с ОДЗ, входит промежуток или нет.

Answer 1

$\frac{567-9^{-x}}{81-3^{-x}} \geq 7 \\\ \frac{567-(3^{-x})^2}{81-3^{-x}} \geq 7 \\\ \mathbf {3^{-x}=a} \\\ \frac{567-a^2}{81-a} -7\geq 0 \\\ \frac{567-a^2-7(81-a)}{81-a} \geq 0 \\\ \frac{567-a^2-567+7a}{81-a} \geq 0 \\\ \frac{-a^2+7a}{81-a} \geq 0 \\\ \frac{a^2-7a}{a-81} \geq 0 \\\ \frac{a(a-7)}{a-81} \geq 0 \\\ a\in[0;7]\cup(81;+\infty)$
$\left[\begin{array} 0 \leq 3^{-x} \leq 7 \\ 3^{-x}\ \textgreater \ 81} \end{array}\right. \\\ \left[\begin{array} 3^{-x} \leq 3^{\log_37} \\ 3^{-x}\ \textgreater \ 3^4} \end{array}\right. \\\ \left[\begin{array} -x \leq \log_37 \\ -x\ \textgreater \ 4} \end{array}\right. \\\ \left[\begin{array} x \geq -\log_37 \\ x\ \textless \ -4} \end{array}\right. \\\ x\in(-\infty;-4)\cup[-\log_37;+\infty)$
Ответ: $(-\infty;-4)\cup[-\log_37;+\infty)$