Question

1) Периметр равнобедренного треугольника равен 72 см, а высота, проведенная к основанию - 24 см. Найдите стороны треугольника.
2) Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 17 см, а гипотенуза - 13 см. Найдите катеты треугольника.
3) Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 10 см. Найдите стороны треугольника, если разность его катетов равна 4 см.

Answer 1

1) у нас равнобедренный треугольник следовательно сторону можно взять за х,тогда периметр равен Р=х+х+с(основание)=2х+с.
рассмотрим прямоугольный треугольник,образованный при помощи опущенного перпендикуляра,где наша сторона х является гипотенузой,а высота и половина основание - катетами(помним,что высота в равнобедренном треугольнике является медианой и биссектрисой). по теореме Пифогора х^2=h^2+(c/2)^2 
получаем систему
$\left \{ {{P=2x+c} \atop {x^2= (\frac{c}{2} })^2+h^2} \right. \left \{ {{x= \frac{P-c}{2} } \atop {( \frac{72-c}{2} })^2= \frac{c^2}{4}+24^2 } \right. \left \{ {{x= \frac{P-c}{2}} \atop { \frac{5184-144c+c^2-c^2-2304}{4}=0 }} \right. \left \{ {{x= \frac{P-c}{2}} \atop {c = 20} \right.$
получили,что стороны равны 26,26,20
2)Нам дан прямоугольный треугольник,пусть один катет равен х,тогда второй катет равен 17-х. По теореме Пифагора найдем х
13^2=x^2+(17-x)^2
169=x^2+289-34x+x^2
x^2-17x+60=0
получили корни 5 и 12 - это и есть наши катеты
Ответ:5;12

3)Здесь нужно вспомнить,что в прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружность.Медиана делит сторону пополам,а у нас она проведена к гипотенузе,значит медиана=половине гипотенузы---->гипотенуза равна 10*2=20.
возьмем за х один из катетов прямоугольного треугольника,тогда второй катет равен х+4.по теореме Пифагора найдем
20^2=x^2+(x+4)^2
2x^2+8x-384=0
получили корни -16 и 12,т.к сторона не может быть отрицательной,то нам подходит только один корень.
Ответ: 12; 12+4=16