Question

В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r = 4. Найдите периметр треугольника,если гипотенуза АВ=26 cм. Более подробно прошу объяснить нахождение сторон

Answer 1

Т.к. окружность вписанная, то АК=АМ  и  ВН=ВМ. Примем АК = Х, а ВМ = У. Тогда Х+У=26. Отсюда У=26-Х.    По теореме Пифагора АС²+ВС² = АВ².  Но АС = АК+КС = Х+r = X+4.   ВС= ВН+СН = У+r = У+4.  Тогда имеем  (Х+4)²+(Y+4)²=26².  Раскроем скобки Х²+8Х+16+У²+8У+16=26². Но У=26-Х. Тогда имеем Х²+8Х+16 +(26-Х)²+8(26-X)+16=26².  Раскроем скобки Х²+8Х+16+26²-52Х+Х²+8*26-8Х=26². Приведя общие члены и сократив что можно окончательно получим Х²-26Х+120=0. Решая это уравнение найдем Х1=20; Х2=6, Тогда У1=6; У2=20. Два решения потому, что возможен второй треугольник, такой же как и первый, но ориентирован иначе. (См. рисунок)
Таким образом АС = 6+4=10;  ВС=20+4=24. Проверим верно ли найдены стороны. Должно выполнится уравнение 10²+24²=26²;  100+576 = 676. Равенство верное. Значит стороны найдены верно. Периметр = 10+24+26=60 см.