Question

Докажите, что при x (0; П/2) справедливо неравенство sinx>xcosx

Answer 1

sinx>xcosx ⇔tgx>x
рассмотрим разложение tgx  в степенной ряд, на интервале (0;π/2) разложение можно взять такое:
$tgx=x+ \frac{ x^{3}}{3}+ \frac{2 x^{5} }{15} + \frac{17 x^{7} }{315} +...$
То есть, надо показать, что:
$x+ \frac{ x^{3}}{3}+ \frac{2 x^{5} }{15} + \frac{17 x^{7} }{315} +... \ \textgreater \ x \\ \frac{ x^{3}}{3}+ \frac{2 x^{5} }{15} + \frac{17 x^{7} }{315} +...\ \textgreater \ 0$
что в принципе очевидно, так как сумма степеней неотрицательного числа..