Question

y=(x+1)/((x-1)^2) 1)исследовать на четность/нечетность 2)указать промежутки монотонности функции и найти точки экстремумов 3)найти уравнения вертикальных и наклонных ассимптот, используя условия для существования этих ассимптот. построить эти линии на координатной плоскости 4)исследовать поведение функции на концах области определения

Answer 1

$f(x)<var>=frac{(x+1)}{(x-1)^2}</var>$

ООФ:

$(x-1)^2neq0Rightarrow x-1neq0Rightarrow xneq1Rightarrow xin(-infty;1)cup(1;+infty)$ x=1 - вертикальная ассимптота.

Чётность/нечётность:

$f(x)=frac{(x+1)}{(x-1)^2}=frac{x+1}{x^2-2x+1}\ f(-x)=frac{(-x+1)}{(-x-1)^2}=frac{-x+1}{x^2+2x+1}neq-f(x)neq f(x)$

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Экстремумы и монотонности:

$f'(x)=left(frac{x+1}{(x-1)^2}right)'=frac{(x-1)^2-(x+1)(2x-2)}{(x-1)^4}=frac{-x^2-2x+3}{(x-1)^4}=0\x_1=1\-x^2-2x+3=0\D=4+4cdot1cdt3=16\x_2=frac{2+4}{-2}=-4\x_3=frac{2-4}{-2}=1$

Получаем, что при x<-2 функция убывает, при $x=(-2;1),(1;+infty)$ - возрастает. То есть, x=-2 - точка минимума.

Наклонные ассимптоты:

$y=kx+b\k= limlimits_{xto pminfty}= limlimits_{xto pminfty}frac{x+1}{(x-1)^2}cdot1x=0\b= limlimits_{xto pminfty}f(x)= limlimits_{xto pminfty}frac{x+1}{(x-1)^2}= limlimits_{xto pminfty}frac{x(1+frac1x)}{x^2(1-frac1x)}= limlimits_{xto pminfty}frac1x=0$

Следовательно, ни наклонных, ни вертикальных ассимптот функция не имеет.