Question

y=x^3(2- x) исследовать функцию
Чертеж обязателен.

Answer 1

$y=x^3(2-x)=2x^3-x^4$

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел.
D(y)=R
2. Функция не периодическая
3. y(-x)=-2x³-x^4=-(2x³+x^4)
Итак, функция ни четная ни нечетная.
4. Точки пересечения с осью Оу и Ох
4.1. С осью Ох(у=0)
$2x^3-x^4=0\\x^3(2-x)=0\\ x_1=0\\ x_2=2$
(0;0), (2;0) - точки пересечения с осью Ох

4.2. С осью Оу (х=0)
у=0
(0;0) - точки пересечения с осью Оу

5. Критические точки(возрастание и убывание функции)
$y'=6x^2-4x^3 \\ y'=0 \\ 2x^2(3-2x)=0 \\ x_1=0\\ x_2=1.5$

___-__(0)___+____(1.5)____-___
Итак, функция возрастает на промежутке x ∈ (0;1.5), а убывает на промежутке x ∈ (-∞;0) и x ∈ (1.5;+∞). В точке х=0 функция имеет локальный минимум, а в точке х=1,5 - локальный максимум

6. Точки перегиба
$y''=12x-12x^2 \\ y''=12x(1-x)=0 \\ x_1=0\\ x_2=1$

___-__(0)___+___(1)__-___
Функция выпукла на промежутке x ∈ (-∞;0) и x ∈ (1;+∞), а вогнута на промежутке х ∈ (0;1)

Вертикальных, гортзонтальных и наклонных асимптот нет

Answer 2

y=2x³-x^4
D(y)∈(-∞;∞)
y(-x)=-2x³-x^4 ни четная ,ни нечетная
2x^3-x^4=0⇒x³(2-x)=0
x=0  x=2
(0;0) U (2;0)-точки пересечения с осями
y`=6x²-4x³=2x²(3-2x)=0
x=0  x=1,5
           _                +                    _
----------------------------------------------
убыв            0 возр          1,5 убыв
y(0)=0
y(1,5)=27/16
y``=12x-12x²=12x(1-x)=0
x=0  x=1
           _                +                _
-----------------------------------------------
выпукла      0 вогнута  1 выпукла

373ee84594a51624de32f54c915d70cd.docx