Question

Найдите множество решений неравенства
а) $x^{ \frac{1}{2} } -7x^{ \frac{1}{4}} +6\ \textless \ 0$
б) $\frac{ x^{ \frac{4}{3} }-4 }{ x^{ \frac{2}{3} } +2 } - \frac{ x^{ \frac{2}{3} }-1 }{ x^{ \frac{1}{3} }-1 } \ \textless \ 3$

Answer 1

$a)\; x^{\frac{1}{2}}-7x^{\frac{1}{4}}+6<0\\\\t=x^{\frac{1}{4}},\; \; t^2-7t+6<0\\\\t_1=1,\; t_2=6\\\\+++(1)---(6)+++\\\\ \left \{ {{t>1} \atop {t<6}} \right. \; \left \{ {{x^{\frac{1}{4}}>1}} \atop {x^{\frac{1}{4}}<6}}} \right. \; \left \{ {{x>1} \atop {x<6^4}} \right. \; x\in (1,1296)\\\\b)\; \frac{x^{\frac{4}{3}}-4}{x^{\frac{2}{3}}+2}-\frac{x^{\frac{2}{3}}-1}{x^{\frac{1}{3}}-1}<3,\; x\ne 1\\\\\frac{(x^{\frac{2}{3}}-2)(x^{\frac{2}{3}}+2)}{x^{\frac{2}{3}}+2}-\frac{(x^{\frac{1}{3}}-1)(x^{\frac{1}{3}}+1)}{x^{\frac{1}{3}}-1}<3\\\\x^{\frac{2}{3}}-2-x^{\frac{1}{3}}-1<3\\\\t=x^{\frac{1}{3}},t^2-t-6<0\\\\-2<t<3\\\\x^{\frac{1}{3}}>-2,x>(-2)^3,x>-8\\\\x^{\frac{1}{3}}<3,x<3^3,x<27\\\\x\in (-8,1)U(1,27)$

Answer 2

а) √x -  7x^(1/4) +6 <0;
делаем замену  : t = x^(1/4) , получим :
(t -1)(t-6) < 0 ;
1 <t< 6;
1< x^(1/4)<6;
1< x <6^(4) =1296;
ответ:  x ∈(1 ;1296) .
б)
делаем замену  : t = x^(1/3) =∛x , получим :
(t^4 -2²)/(² +2) -(t² -1)/(t-1) <3;
(t²  -2)(t² + 2)/(t² +2) - (t-1)(t+1)/(t-1) <3;
t  ≠  1   [ ∛x ≠1⇒ x≠1 ] ;  получим :
t²  -2 -(t+1) < 3 ;  t ≠ 1 [ ∛x ≠1⇒ x≠1 ] ;
t²  - t - 6 <0 ;
-2 < t < 3 ;
-2 < ∛x < 3 ;
- 8 < x < 27 
учитывая   x≠1 окончательно получим :
-8<x<1 ;1<x<27.
ответ:  x ∈(-8 ;1) U   (1 ; 27)