решаем подробно с объяснениями и чертежами
Ответы
Цитата: "Прямоугольный параллелепипед — объёмная фигура, у которой шесть граней, и каждая из них является прямоугольником."
а) Построение.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Опустим перпендикуляр КМ на ребро CD. Проведем прямую АМ. Прямая АК принадлежит плоскости АА1КМ(АА1К), значит плоскость, перпендикулярная прямой АК, должна быть перпендикулярна и прямой АМ, принадлежащей этой же плоскости АА1КМ. Опустим перпендикуляр из точки В на прямую АМ до пересечения его с этой прямой в точке Н. Проведем в прямоугольном треугольнике АМК перпендикуляр МР из прямого угла АМК к гипотенузе АК. Проведем прямую НN параллельно МР до пересечения с прямой А1К в точке N. Прямая HN перпендикулярна АК (так как она параллельна МР). Плоскость BHN перпендикулярна плоскости АА1К поскольку включает в себя и перпендикуляр ВН к прямой АН и перпендикуляр HN из точки Н к прямой АК, а прямые АН и АК принадлежат плоскости АА1К.
Итак, плоскость ВНN перпендикулярна плоскости АА1К, значит она перпендикулярна прямой АК и прямая НN является линией пересечения этих плоскостей.
б) Угол АНN между плоскостью ВНN, перпендикулярной прямой АК и плоскостью АВС, равен углу АМР, как соответственные углы при параллельных прямых HN и МР и секущей АН. В свою очередь, <AKМ = <AMP так как высота МР делит прямоугольный треугольник АМК на подобные треугольники МКР и АМР. Значит искомый тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему в треугольнике АМК, то есть АМ/КМ.
По Пифагору АМ=√(AD²+DM²)=√(6²+8²)=10. КМ=7 (дано).
Тогда tg(<NHA)=tg(<AKM)=10/7. (Угол ≈ 55°)
Ответ: тангенс угла угла между плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой АК, и плоскостью АВС равен 10/7.
Решение координатным методом.
б) Введем систему координат X,Y,Z с началом координат в точке В. Тогда получаем координаты точек: А(0;0;16), А1(0;7;16), К(6;7;8).
Общее уравнение плоскости имеет вид Ax+By+Cz+D=0. Уравнение плоскости основания Х0Z имеет вид: Y=0. (Это для плоскости АВС). Надо найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору АК{6;7-8} (Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала АК={Xk-Xa;Yk-Ya;Zk=Za}).
Уравнение плоскости, проходящей через точку В(0;0;0) перпендикулярно вектору n=AK{6;7;-8}, имеет вид
6(X-Xb)+7(Y-Yb)-8(Z-Zb)=0. Или 6Х+7Y-8Z=0.
Найдем угол между этой плоскостью и плоскостью основания Y=0.
Имеем вектор n1{6;7;-8},который является вектором нормали данной плоскости.
Вектором нормали плоскости основания является вектор n2{0;1;0}.
Угол между плоскостями можно найти через угол между нормальными векторами данных плоскостей.
cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)]. Cosα=(0+7+0)/[√(36+49+64)*√(0+1+0)] или cosα=7/√149. Sin²α+Cos²α = 1. Sinα=√(1-49/149)=√(100/149)= 10/√149.
Тогда tgα=10/7.
Искомый угол равен α = arctg(10/7) или α=arctg(1,428). α≈55°.
