Question

упростите 1-sina/1-cosa*tg^2(п/4+a/2)

Answer 1

$\frac{1-sin \alpha }{1-cos \alpha } *tg ^{2} ( \frac{ \pi }{4} + \frac{ \alpha }{2} )= \frac{1-sin \alpha }{1-cos \alpha }*( \frac{tg \frac{ \pi }{4 }+tg \frac{ \alpha }{2} }{1-tg \frac{ \pi }{4}tg \frac{ \alpha }{2} } ) ^{2} =\frac{1-sin \alpha }{1-cos \alpha }*( \frac{1+tg \frac{ \alpha }{2} }{1-tg \frac{ \alpha }{2} } ) ^{2} =$

$=\frac{1-sin \alpha }{1-cos \alpha }* \frac{(1+ \frac{sin \frac{ \alpha }{2} }{cos \frac{ \alpha }{2} }) ^{2} }{(1- \frac{sin \frac{ \alpha }{2} }{cos \frac{ \alpha }{2} }) ^{2} } = \frac{1-sin \alpha }{1-cos \alpha }* \frac{( \frac{cos \frac{ \alpha }{2} +sin \frac{ \alpha }{2} }{cos \frac{ \alpha }{2} }) ^{2} }{( \frac{cos \frac{ \alpha }{2}- sin \frac{ \alpha }{2} }{cos \frac{ \alpha }{2} }) ^{2} } =$

$= \frac{1-sin \alpha }{1-cos \alpha }* \frac{ \frac{(cos \frac{ \alpha }{2} +sin \frac{ \alpha }{2}) ^{2} }{cos ^{2} \frac{ \alpha }{2} } }{ \frac{(cos \frac{ \alpha }{2}- sin \frac{ \alpha }{2}) ^{2} }{cos ^{2} \frac{ \alpha }{2} } } = \frac{1-sin \alpha }{1-cos \alpha } * \frac{(cos \frac{ \alpha }{2}+ sin \frac{ \alpha }{2}) ^{2}}{(cos \frac{ \alpha }{2}- sin \frac{ \alpha }{2}) ^{2}} =$

$= \frac{1-sin \alpha }{1-cos \alpha }* \frac{cos ^{2} \frac{ \alpha }{2} +2sin \frac{ \alpha }{2} cos \frac{ \alpha }{2}+sin ^{2} \frac{ \alpha }{2} }{cos ^{2} \frac{ \alpha }{2} -2sin \frac{ \alpha }{2} cos \frac{ \alpha }{2}+sin ^{2} \frac{ \alpha }{2} } = \frac{1-sin \alpha }{1-cos \alpha } * \frac{1+2sin \frac{ \alpha }{2} cos \frac{ \alpha }{2}}{1-2sin \frac{ \alpha }{2} cos \frac{ \alpha }{2}}=$

$= \frac{1-sin \alpha }{1-cos \alpha } * \frac{1+sin \alpha }{1-sin \alpha }= \frac{1+sin \alpha }{1-cos \alpha }$