Question

помогите пожалуйста по правилу Лопиталя вычислить:lnx/lnsinx

Answer 1

$\lim_{x \to 0} ( \frac{lnx}{ln(sinx)})= \lim_{x \to 0} (\frac{\frac{1}{x}}{\frac{cosx}{sinx}})=\lim_{x \to 0} (\frac{sinx}{x*cosx})=$$=\lim_{x \to 0} (\frac{cosx}{cosx-x*sinx})=\frac{cos0}{cos0-0*sin0}=\frac{1}{1}=1$

Answer 2

Применим правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

пусть f(x)=ln(x); g(x)=ln(sin(x))

$f'(x)=(\ln x)'= \frac{1}{x} \\ g'(x)=(\ln(\sin x))'= \frac{\cos x}{\sin x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x\cos x}$

Опять правило Лопиталя

Пусть t(x)=sin(x); r(x)=xcos(x)

$t'(x)=\cos x \\ r'(x)=-x\sin x+\cos x$

Вычисляем

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{-x\sin x+\cos x} =1$

Ответ: 1.