Question

Даю 165 баллов. На полпути затруднения, может у меня ошибка. В общем, спасайте

Answer 1

Разложим второе уравнение на множители
$x^3-y^3=36(x-y) \\ (x-y)(x^2+xy+y^2)(x-y)-36(x-y)=0 \\ (x-y)(x^2+xy+y^2-36)=0$

Разбивается на 2 системы

Первая система
***************************************
$\left \{ {{x^2+y^2-36=0} \atop {x^2+xy+y^2-36=0}} \right.$
Пусть u=x+y, v=xy, получаем

$x^2+y^2-36=0 \\ u^2-2v-36=0 \\ \\ x^2+xy+y^2-36=0 \\ u^2-v-36=0$

Решив систему
$\left \{ {{u^2-2v-36=0} \atop {u^2-v-36=0}} \right. \to \left \{ {{u^2-2v-36-u^2+v+36=0} \atop {u^2-v-36=0}} \right. \to \left \{ {{v=0} \atop {u=\pm6}} \right.$

Возвращаемся к замене
$\left \{ {{xy=0} \atop {x+y=-6}} \right. \to \left \{ {{x=0,\,\,\,\,y=0} \atop x=-6,\,\,\,\, y=-6}} \right.$

$\left \{ {{xy=0} \atop {x+y=6}} \right. \to \left \{ {{x=0,\,\,\,y=0} \atop {y=6,\,\,\,x=6}} \right.$
******************************************

Вторая система
$\left \{ {{x^2+y^2-36=0} \atop {x-y=0}} \right. \to \left \{ {{x=y} \atop {y^2+y^2-36=0}} \right. \\ 2y^2-36=0 \\ y^2=18 \\ y=\pm3 \sqrt{2} \\ x=\pm3\sqrt{2}$



Ответ: $(0;-6),\,\,(-6;0),\,\,(0;6),\,\,(6;0),\,\,(-3\sqrt{2};-3\sqrt{2}),\,\,\,(3\sqrt{2};3\sqrt{2})$