Question

ABCDA1B1C1D1-прямоугольный параллелепипед, AB=AD=12см, AA1=3см. Найдите площадь сечения AKEC, где K-середина A1B1 и E-середина B1C1.

Answer 1

Точки А, К, Е и С попарно лежат в одной плоскости, соединяем их.
АКЕС - трапеция, т.к. КЕ║А₁С₁ как средняя линия треугольника А₁В₁С₁, А₁С₁║АС, ⇒ КЕ║АС.

ΔАА₁К = ΔСС₁Е по двум катетам, значит АК = СЕ, ⇒
АКЕС - равнобедренная трапеция.

АС = 12√2 см как диагональ квадрата.
КЕ = А₁С₁/2 = 12√2/2 = 6√2 см

ΔАА₁К: ∠АА₁К = 90°, по теореме Пифагора
               АК = √(АА₁² + А₁К²) = √(9 + 36) = √45 = 3√5 см

Проведем высоты трапеции КН и ЕТ.
АН = ТС = (АС - КЕ)/2 = (12√2 - 6√2)/2 = 3√2 см
ΔАКН: ∠АНК = 90°, по теореме Пифагора
             КН = √(АК² - АН²) = √(45 - 18) = √27 = 3√3 см

Sakec = (AC + KE)/2 · KH = (12√2 + 6√2)/2 · 3√3 = 9√2 · 3√3 = 27√6 см²