Question

Срочно! Помогите, пожалуйста! Не могу решить именно эти примеры :(

1) cos4x + cos2x = 0 на [-п, п/3]
2) cos2x - sinx = 0 на [0, 5п/2]
3) 2sin^x + 3cosx - 3 = 0 на [4п, 5п]

Answer 1

$\cos4x+\cos2x=0 \\ 2\cos^22x-1+\cos2x=0$

Пусть $\cos 2x=t\,\,\,(|t| \leq 1)$, тогда получаем
$2t^2+t-1=0 \\ D=b^2-4ac=1^2+8=9 \\ \\ t_1= \frac{-1-3}{4} =-1 \\ t_2=\frac{-1+3}{4}= \frac{1}{2}$

Возвращаемся к замене

$\left[\begin{array}{ccc}\cos 2x=-1\\ \cos2x= \frac{1}{2} \end{array}\right\to \left[\begin{array}{ccc}2x=\pi +2 \pi n,n \in Z \\ 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n \in Z \end{array}\right\to \left[\begin{array}{ccc}x_1= \frac{\pi}{2}+\pi n,n \in Z\\ x_2=\pm \frac{\pi}{6} +\pi n,n \in Z\end{array}\right$

$\cos2x-\sin x=0 \\ 1-2\sin^2x-\sin x=0 \\ 2\sin^2x+\sin x-1=0$
пусть $\sin x=t\,\,\, (|t| \leq 1)$, тогда получаем
$2t^2+t-1=0 \\ D=9 \\ t_1=-1 \\ t_2= \frac{1}{2}$

Возвращаемся к замене

$\left[\begin{array}{ccc}\sin x=-1\\ \sin x= \frac{1}{2} \end{array}\right\to \left[\begin{array}{ccc}x_1=- \frac{\pi}{2}+2\pi k,k \in Z \\ x_2=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6}+\pi k,k \in Z \end{array}\right$

$2\sin^2x+3\cos x-3=0 \\ 2(1-\cos^2x)+3\cos x-3=0 \\ 2-2\cos^2x+3\cos x-3=0 \\ 2\cos^2x-3\cos x+1=0$
Пусть $\cos x=t\,\,\, (|t| \leq 1)$, тогда получаем
$2t^2-3t+1=0 \\ D=b^2-4ac=9-8=1 \\ t_1= \frac{3+1}{4} =1 \\ t_2=\frac{3-1}{4}= \frac{1}{2}$

Возвращаемся к замене
$\left[\begin{array}{ccc}\cos x=1\\ \cos x= \frac{1}{2} \end{array}\right\to \left[\begin{array}{ccc}x_1=2 \pi n,n \in Z\\ x_2=\pm \frac{\pi}{3} +2\pi n,n \in Z\end{array}\right$



P.S. Отбор корней сделаете сами