Question

Помогите решить три задачи
1.Найдите радиусы окружностей, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см, и вписанной в него.
2.В треугольнике АВС проведен отрезок MN(M принадлежит АВ, N принадлежит ВС), параллельный стороне АС, так что ВМ:МА=1:2. Найдите отношение площадей треугольников MBN и ABC.
3.Найдите площадь кругового кольца, заключенного между окружностями, описанной около правильного четырехугольника со стороной а, и вписанной в него.

Answer 1

№1      Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см  имеет гипотенузу  13см  (  по теореме Пифагора с²=a²+b²,  с²=144+25=169,  c=13).    Центр описанной  около прямоугольного треугольника окружности лежит  на гипотенузе,  т.е. R=6,5
  Площадь треугольника  можно найти  по формуле S=1/2ab  или  S=1/2P*r,  где Р - периметр треугольника,  r - радиус  вписанной окружности.  1/2*12*5=1/2*30*r,    r=60/30=2(cм)
№2          Треугольников MBN и ABC подобны с коэффициентом подобия  1/3.  Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия,  т.е.  1/9.

№3  Треугольник  АВМ - прямоугольный ,  по теореме Пифагора найдем  ВМ,  ВМ =√а²-1/4а²=(а√3)/2 ;    ВО=R=2/3*ВМ=(а√3)/3,  r=ОМ=1/3*ВМ=(а√3)/6
Sкольца=πR²-πr² =π(a²/3-a²/12)=(πa²)/4

c5b0a95b025ceaf8c46b139a653edc62.pdf