Question

Решите тригонометрическое уравнение

Answer 1

Дополнительные формулы:
$\sin 2x=2\sin x\cos x \\ cos^2x=1-\sin^2x$
***************************************
$4\cos^3x+3 \sqrt{2} \sin 2x=8\cos x\\ 4\cos^3x+3\sqrt{2}\cdot 2\sin x\cos x-8\cos x=0 \\ 2\cos x(2\cos^2x+3\sqrt{2}\sin x-4)=0 \\ 2\cos x(2(1-\sin^2x)+3\sqrt{2}\sin x-4)=0 \\ 2\cos x(2-2\sin^2x+3\sqrt{2}\sin x-4)=0 \\ 2\cos x(-2\sin^2 x+3\sqrt{2}\sin x-2)=0$
Произведение равно нулю
$\cos x=0 \\ x_1= \frac{\pi}{2} +\pi n,n \in Z \\ \\ -2\sin^2x+3\sqrt{2}\sin x-2=0|\cdot (-1) \\ 2\sin^2x-3\sqrt{2}\sin x+2=0$

Пусть $\sin x=t\,\,(|t| \leq 1)$, тогда получаем
$2t^2-3\sqrt{2}t+2=0$
 находим дискрминант
$D=b^2-4ac=(-3\sqrt{2})^2-4\cdot 2\cdot 2=18-16=2$
$t_1= \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2\cdot 2}= \frac{\sqrt{2}}{2}$
$t_2= \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2\cdot 2} =\sqrt{2}$ - не удовлетворяет условие при $(|t| \leq 1)$

Возвращаемся к замене
$\sin x= \frac{\sqrt{2}}{2} \\ x=(-1)^k\cdot \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}+\pi k,k \in Z \\ x_2=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} +\pi k,k \in Z$

Отбор корней

Для корня $x=\frac{\pi}{2} +\pi n$
$n=0;\,\,x=\frac{\pi}{2} \\ n=1;\,\,\,\,x=\frac{3\pi}{2} \\ n=2;\,\,\,x=\frac{5\pi}{2} \\ n=-1;\,\,\, x=-\frac{\pi}{2} \\ n=-2;\,\,\, x=-\frac{3\pi}{2} \\ n=-3;\,\,\, x=-\frac{5\pi}{2}\\ n=-4;\,\,\,\,\,\, x=-\frac{7\pi}{2}$

Для корня $x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} +\pi k$
$k=0;\,\,\, x=\frac{\pi}{4} \\ k=1;\,\,\, x=\frac{3\pi}{4} \\ k=2;\,\,\,x=\frac{9\pi}{4} \\ k=3;\,\,\,x=\frac{11\pi}{4}\\ k=-1;\,\,\,\, x=-\frac{5\pi}{4} \\ k=-2;\,\,\,x=-\frac{7\pi}{4} \\ k=-3;\,\,\, x=-\frac{13\pi}{4} \\ k=-4;\,\,\, x=-\frac{15\pi}{4}$