Question

Почему слово по-новому пишется через тире?

Answer 1

Потому что это наречие. Вопрос (как?) - по-новому. 
Можно писать без тире, но тогда вопрос задаём от "по" (чему?) новому и меняется смысл. 

Answer 2

Сочетание по- ...ому/ему. 
Здесь "виноват" суффикс "ому".