Question

Площадь прямоугольного треугольника 6 см^2. Найдите наименьшее значение площади квадрата, построенного на гипотенузе треугольника.

Answer 1

Пусть x,y - катеты прямоугольного треугольника, z - гипотенуза.
xy=12
по т. Пифагора
$z^2=x^2+y^2=x^2+y^2+2xy-2xy=(x+y)^2-24$
$a+b \geq 2 \sqrt{ab}$ - неравенство Коши
Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда a=b.
То есть

$x+y \geq 2 \sqrt{xy} \\(x+y)^2\geq 4 xy\\ (x+y)^2 \geq 48$
Знак равенства будет выполнятся тогда и только тогда, когда $x=y$

$z^2=(x+y)^2-24 \geq 48-24;\\ z^2=24$

Наименьшее значение: 24