Question

помогите доказать тождества пожалуйста

Answer 1

1)$sin^2( \alpha - \beta )+sin^2 \beta +2sin( \alpha - \beta )sin \beta cos \alpha =sin^2 \alpha$$sin^2( \alpha - \beta )+sin^2 \beta +sin( \alpha - \beta )(sin( \beta - \alpha )+sin( \alpha + \beta ))=sin^2 \alpha$$sin^2 \beta +sin( \alpha - \beta )sin( \alpha + \beta )=sin^2 \alpha$$sin^2 \beta + \frac{cos2 \beta -cos2 \alpha }{2} =sin^2 \alpha$$2sin^2 \beta +cos2 \beta -cos2 \alpha =2sin^2 \alpha$$2sin^2 \beta +1-2sin^2 \beta -1+2sin^2 \alpha =2sin^2 \alpha$
$2sin^2 \alpha =2sin^2 \alpha$ а значит$sin^2( \alpha - \beta )+sin^2 \beta +2sin( \alpha - \beta )sin \beta cos \alpha =sin^2 \alpha$ ч.т.д.

Answer 2

2) Tg3α=tg(2α+α)=tg2α+tgα/1-tg2α*tgα=$\frac{ \frac{2tg \alpha }{1-tg^2 \alpha }+tg \alpha }{1- \frac{tg \alpha *2tg \alpha }{1-tg^2 \alpha } }= \frac{2tg \alpha +tg \alpha -tg^3 \alpha }{1-tg^ \alpha }: \frac{1-tg^2 \alpha -2tg^2 \alpha }{1-tg^2 \alpha }= \frac{3tg \alpha -tg^3 \alpha }{1-3tg^2 \alpha }$
$tg \alpha *tg( \frac{ \pi }{3}+ \alpha )*tg( \frac{\pi}{3}- \alpha )= tg \alpha * \frac{tg \frac{\pi}{3}+tg \alpha }{1-tg \frac{\pi}{3}*tg \alpha } * \frac{tg \frac{\pi}{3}-tg \alpha }{1+tg \frac{\pi}{3}*tg \alpha }$
$\frac{tg \alpha ( \sqrt{3} +tg \alpha )*( \sqrt{3}-tg \alpha )}{(1- \sqrt{3}tg \alpha)(1+ \sqrt{3}tg \alpha ) }= \frac{tg \alpha (3-tg^2 \alpha )}{1-3tg^2 \alpha }= \frac{3tg \alpha -tg^3 \alpha }{1-3tg^2 \alpha }$
выражение справа равно выражению слева, значит тождество верно

sin²(α-β)+sin²β-sin²α+2sin(α-β)sinβ*cosα= sin(α-β)(sinα*cosβ-sinβ*cosα) + 2sin(α-β)* sinβ*cosα-(sinα-sinβ)(sinα+sinβ)= sin(α-β)sinα*cosβ-sin(α-β)* sinβ*cosα + 2sin(α-β)* sinβ*cosα-2sin(α-β/2)cos(α+β/2)*2sin(α+β/2)*cos(α-β/2) = sin(α-β)sinα*cosβ+sin(α-β)* sinβ*cosα-sin(α-β)sin(α+β)= sin(α-β)(sinα*cosβ+sinβ*cosα)-sin(α-β)sin(α+β)=sin(α-β)sin(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)=0 тождество верно