Question

Через середину о диагонали ac прямоугольника abcd проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках P и K соответственно.
1) Докажите, что APCK - паралелограм.
2) Найдите площадь APCK, если AK=4, KD=8 и AC=13.
3) Найдите PK.
4) С помощью микро калькулятора найдите угол AOK.

Answer 1

Можно так.
1) Середина диагонали АС прямоугольника является точкой пересечения диагоналей, а также центром симметриии прямоугольника. Значит точка О делит отрезок РК пополам, тогда в ΔСОР =ΔАОК  по двум сторонам и углу между ними (ОР=ОК, АО=ОС и углы РОС и АОК равны как вертикальные). Отсюда РС=АК, а также РСIIАК, Значит АРСК параллелогамм.
2) S(АРСК)=РС*CD, CD=√(AC²-AD²)=√(169-144)=5, PC=AK=4, S(АРСК)=4*5=20.
3) Проведем РМ II CD, РМ=5, КМ=8-4=4, РК=√(РМ²+КМ²)=√(25+16)=√41, 
4) По теореме косинусов АК²=АО²+ОК²-2АО*ОК*cos(AOK).
АК=4, АО=6,5, ОК=√41/2. 
$cos\angle AOK= \frac{AO^2+OK^2-AK^2}{2 AO*OK}= \frac{42,25+ \frac{41}{4}-16 }{2*6,5* \frac{ \sqrt{41}}{2}}= \frac{36,5}{41,6}=0,8774.$
$\angle AOK=28^ \circ40'$