Question

ПОМОГИТЕ,ПОЖАЛУЙСТА решить задачу из ЕГЭ!!!

Answer 1

1) Пусть окружность $\omega_1$ касается стороны AC в точке H  и продолжения стороны AB в точке K. Тогда
BM=BC+CM=BC+CH.
BK=AB+AK=AB+AH.
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки BM=BK. Учитывая это, сложим полученные равенства:
BM+BK=2BM=BC+CH+AB+AH=BC+AC+AB.
Т.е. BM равно полупериметру треугольника ABC.
Аналогично, CN равно полупериметру треугольника ABC. Значит BM=CN.

2) Из предыдущего пункта $CH=CM=(AB+AC+BC)/2-BC=(AB+AC-BC)/2$   
Заметим, что треугольник ABC - прямоугольный, с прямым углом А (т.к. $(\sqrt{17})^2+(\sqrt{19})^2=6^2.$). Тогда, если $O_1$ и $O_2$ - центры окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно, то $AKO_1H$ - квадрат. Радиус окружности $\omega_1$ равен стороне этого квадрата $R_1=AC-HC=AC-(AB+AC-BC)/2=(BC+AC-AB)/2$.
Аналогично, радиус $\omega_2$ равен $R_2=(BC+AB-AC)/2$.
Значит $O_1O_2=O_1A+O_2A=(R_1+R_2)\sqrt{2}=BC\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.

А вот другое, намного более сложное решение, но зато оно годится для любого треугольника АBC, не только прямоугольного.
Т.к. $CO_1$ и $CO_2$ - биссектрисы углов, сумма которых равна 180°, то $\angle O_1CO_2=90^\circ$. Поэтому $O_1O_2=\sqrt{O_1C^2+O_2C^2}=\sqrt{\left(\frac{CM}{\sin(\angle C/2)}\right)^2+\left(\frac{CN}{\cos(\angle C/2)}\right)^2$. Здесь уже все величины можно посчитать через стороны треугольника ABC. Если проделать все эти громоздкие вычисления, то получится:
$O_1O_2=2\,\sqrt {{\frac {{a}^{2}bc}{ \left( a-b+c \right) \left( a+b-c \right) }}}$, где
$a=BC=6$,  $b=AC=\sqrt{17}$, $c=AB=\sqrt{19}$.
Подставляя эти числа, после всех вычислений $O_1O_2=6\sqrt{2}$.

Как видим, оба решения дают одинаковый ответ $OO_1=6\sqrt{2}$.