Question

Три числа образуют конечную геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то прогрессия станет арифметической, если же второе число увеличить на 1, а третье увеличить на 11, то получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.

Answer 1

$b_{1}, b_{2}, b_{3}$ - геометрическая прогрессия
$b_{1},b_{2}+8, b_{3}$ - арифметическая прогрессия
$b_{1}, b_{2}+1, b_{3}+11$ - геометрическая прогрессия

1) $b_{2}=b_{1}*q$
$b_{3}=b_{1}*q^{2}$

2) $b_{2}+8= \frac{b_{1}+b_{3}}{2}$
$b_{1}*q+8= \frac{b_{1}+b_{1}*q^{2}}{2}$
$b_{1}=\frac{16}{q^{2}-2q+1}$

3) $\frac{b_{2}+1}{b_{1}}=\frac{b_{3}+11}{b_{2}+1}$
$\frac{b_{1}*q+1}{b_{1}}=\frac{b_{1}*q^{2}+11}{b_{1}*q+1}$
$(b_{1}*q+1)^{2}=b_{1}*(b_{1}*q^{2}+11)$
$b_{1}= \frac{1}{11-2q}$

4) $\frac{16}{q^{2}-2q+1}=\frac{1}{11-2q}$
$16*(11-2q)=q^{2}-2q+1$
$176-32q=q^{2}-2q+1$
$q^{2}+30q-175=0, D=1600$
$q_{1}= \frac{-30-40}{2}=-35$
$q_{2}= \frac{-30+40}{2}=5$

5) Если $q=-35$, то:
$b_{1}= \frac{1}{81}$
$b_{2}=-\frac{35}{81}$
$b_{3}=\frac{1225}{81}$

6) Если $q=5$, то:
$b_{1}=1$
$b_{2}=5$
$b_{3}=25$