Question

Почему стихотворение ("Смерть поэта") вызвало любовь передовых людей и ненависть царя и высшего сословия?

Answer 1

Во-первых, стихотворение "Смерть поэта" посвящено Пушкину. Используя пример аллюзии (т. е намек) Лермонтов всем ясно дал понять, что речь идет именно о смерти Пушкина. 
Пушкин пользовался уважением среди передовых людей того общества, поэтому естественно те, кто любил поэта оценил это произведение по достоинству.
Что касается царя, так у него и без того было презрительное отношение к Пушкину (как известно Пушкин лично сказал царю, что если бы у него была возможность, он был бы на Сенатской площади во время декабристского восстания). Помимо этого, Лермонтов во второй части стихотворения бросает вызов представителям власти, угрожая им расплатой со стороны Всевышнего суда.
"Вы, жадною толпой стоящие у трона,
Свободы, Гения, и Славы палачи!
Таитесь вы под сению закона,
Пред вами суд и правда - все молчи!
Но есть и божий суд, наперсники разврата!"
Естественно, такие строки царю не пришлись по нраву, поэтому насколько я помню за это Лермонтов был сослан в ссылку.