Question

высоты вв1 и сс1 остроугольного треугольника пересекаются в точке Е. докажите,что углы ВВ1С1 и ВСС1 равны

Answer 1

треугольники В1ЕС и С1ЕВ подобны по трём углам, угол В1ЕС=углу ВЕС1 как вертикальные, угол ЕВ1С= углу ЕС1В=90. =>угол ЕСВ1= углу ЕВС1.

В1Е/ЕС=ЕС1/ЕВ=sin(ECB1)=sin(EBC1)
т.к. В1Е/ЕС=ЕС1/ЕВ то значит треугольники В1ЕС и СЕВ подобны по двум сторонам и углу между ними. => угол С1В1Е= углу ВСЕ

Answer 2

Вариант решения
Треугольники ВВ₁С и СС₁В - прямоугольные, т.к. высоты пересекаются с соответствующими сторонами под прямым углом.
Вокруг этих треугольников можно описать одну окружность, т.к. гипотенуза ВС у них - общая, и радиус этой окружности будет одним и тем же для описанной вокруг каждого треугольника окружности.
Т.е. точки С и В₁ будут лежать на одной и той же окружности. 
Углы ВВ₁С₁ И ВСС₁  - вписанные и опираются на одну и ту же дугу, стягиваемую хордой С₁В. 
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу - равны, ч.т.д.