Question

высота проведенная к основанию равнобедренного треугольника равна 9 см, а саму основанию равно 24 см. Найдите радиусы впсанной в треугольник и описанный около треугольней окружностей

Answer 1

Во вложении рисунок:
O - центр описанной окружности около треугольника АВС
L - центр окружности, вписанной в треугольник АВС 
BH - высота
Дано:
АВС - равнобедренный треугольник (АВ=ВС)
ВН - высота, ВН = 9 
АС = 24
Найти: R и r
Решение:
BH - это высота, биссектриса и медиана, т.к. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.
AH=HC=12
По Теореме Пифагора:
$AB^{2} = AH^{2} +BH^{2}$
$AB= \sqrt{AH ^{2} + BH^{2} }$
$AB= \sqrt{144+81} = \sqrt{225} = 15$
Есть такое свойство:
Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус этой окружности:
S = pr
P = 54, p = 27
S = 27r
Есть еще одна формула:
$S= \frac{1}{2} ah$
$S = \frac{1}{2} 24*9$
S = 108
108 = 27r
r = 4
Найдем R:
Есть еще одна формула для нахождения площади треугольника:
$S= \frac{abc}{4R}$
$S= \frac{5400}{4R}$
S = 108
108 = $\frac{5400}{4R}$
432R = 5400
R = 12,5
Ответ: r = 4, R = 12, 5