Question

В  1‐й  день  завод  изготовил  1454  детали  и  упаковал  их  в  коробки  двух  видов:
большие  и  маленькие.  Известно,  что  маленькая  коробка  вмещает  5  деталей.  Во  2‐й 
день  было  изготовлено  и  упаковано  в  такие  же  коробки  1467  деталей.  При  этом  в 
первый  день  было  использовано  столько  маленьких  коробок,  сколько  больших  во 
второй,  а  во  второй  день  –  столько  маленьких  коробок,  сколько  больших  в  первый.
Сколько маленьких коробок было использовано в 1‐й день?

Answer 1

Пусть в первый день было x маленьких коробок и y больших, а в большую коробку вмещается a деталей (x, y и a - натуральные числа). Тогда
$\begin{cases}5x+ay=1454\\ax+5y=1467\end{cases}\;\;\;\;\;\;(1)$
Вычтем из второго уравнения первое, получим
$ax+5y-5x-ay=1467-1454\\a(x-y)+5(y-x)=13\\a(x-y)-5(x-y)=13\\(x-y)(a-5)=13$
13 - простое число. Значит, одна из "скобок" равна 13, другая - 1.
Рассмотрим оба случая:
$1.\;\begin{cases}x-y=13\\a-5=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=x-13\\a=6\end{cases}$
Подставим эти значения в первое уравнение системы (1):
$5x+6(x-13)=1454\\5x+6x-78=1454\\11x=1532$
Здесь целочисленного решения не получается, значит этот вариант не подходит.
$2.\;\begin{cases}x-y=1\\a-5=13\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=x-1\\a=18\end{cases}$
Подставляем:
$5x+18(x-1)=1454\\5x+18x-18=1454\\23x=1472\\x=64$
Получили целочисленное решение.

Ответ: в первый день было использовано 64 маленькие коробки.