Question

в треугольник АВС сторона АВ=5 сторона ВС=8 Биссектриса углов А и С пересекаются под углом 45 Найти АС

Answer 1

В треугольнике АВС биссектрисы АМ и СН пересекаются под углом 45 градусов. Пусть точка их пересечения будет 45°
Тогда, поскольку угол НОА - внешний при вершине О треугольника СОА, сумма углов, не смежных с ним, равна 45°. 
Т,е. угол ОСА+угол САО=45°. Но это полусумма этих углов ( они поделены биссектрисами пополам). ⇒
сумма углов А и С=45°*2=90°,
и тогда
угол В=90°⇒
Δ АВС - прямоугольный, и АС - его гипотенуза. 
По т.Пифагора 
АС²=АВ²+ВС²=25+64=89
АС=√89
--------------
bzs@
Возможно, в условии ошибка, и АВ=не 5, а 6 (обычно даются такие числа в подобных задачах), и тогда АС=10.  Суть решения от этого не меняется. 
В прямоугольном треугольнике биссектрисы острых углов всегда пересекаются под углом 45°, а смежный с ним, соответственно, всегда 135°. Это полезно запомнить, т.к. в задачах встречается нередко.