Question

При каких значениях параметра а, система уравнений {█(x^2-6х+у^2+8=0, x^2+(у-4)^2=а
имеет единственное решение? В ответе укажите наименьшее целое решение.
А. 15;
Б. 16;
В. 17;
Г. 18.

Answer 1

Первое уравнение можно записать как (x-3)^2+y^2=1. Таким образом, оба уравнения задают окружности: одна с центром в точке (3,0) радиуса 1, и вторая с центром в (0,4)  радиуса $\sqrt{a}$. Эта система будет иметь единственное решение только тогда, когда эти окружности касаются. Они могут касаться внешним или внутренним образом. Наименьшее значение $a$ будет при внешнем касании, когда сумма радиусов равна расстоянию между центрами. Расстояние между центрами равно $\sqrt{3^2+4^2}=5$. Значит, искомое $a$ получится из условия $1+\sqrt{a}=5$, т.е. a=16. Ответ: Б.