Question

Все члены геометрической прогрессии - положительные числа. Известно, что разность между первым и пятым членами равна 15, а сумма первого и третьего членов равна 20. Найдите десятый член этой прогрессии.

Answer 1

$b_{1}...b_{n}>0$
$q>0$

$b_{1}-b_{5}=15$
$b_{1}+b_{3}=20$

$b_{3}=b_{1}*q^{2}$
$b_{5}=b_{1}*q^{4}$

$b_{1}-b_{1}*q^{2}=15$
$b_{1}+b_{1}*q^{4}=20$

$b_{1}*(1-q^{4})=15$
$b_{1}*(1+q^{2})=20$

Разделим одно уравнение на другое:
$\frac{1-q^{4}}{1+q^{2}}=\frac{15}{20}$
$\frac{1-q^{4}}{1+q^{2}}=\frac{3}{4}$
$\frac{(1-q^{2})(1+q^{2})}{1+q^{2}}=\frac{3}{4}$
$1-q^{2}=\frac{3}{4}$
$q^{2}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$
$q=0.5$
$b_{1}=\frac{15}{1-q^{4}}$
$b_{1}=\frac{15}{1- \frac{1}{16}}=\frac{15*16}{15}=16$

$b_{10}=b_{1}*q^{9}$
$b_{10}=16* \frac{1}{2^{9}}=\frac{2^{4}}{2^{9}}=\frac{1}{2^{5}}=\frac{1}{32}$