Question

Помогите решить задачу по геометрии.

Из одной точки C проведены наклонные CA и CB к плоскости гамма под углом альфа. Угол между наклонными равен бета. Найти синус угла между плоскостями гамма и ABC.
(с рисунком и объяснениями).

Answer 1

Дано: (СА; γ)=(СВ; γ)=α; АСВ=β
Найти: sin(ABC; γ)
Решение: Чтобы найти угол между двумя плоскостями, нужно провести в каждой плоскости перпендикуляр к линии пересечения этих плоскостей, угол между этим перпендикулярами и будет углом между плоскостями.
Проведем СН перпендикулярно плоскости γ и СМ - биссектрису угла АСВ. Так как углы наклона СА и СВ к плоскости γ равны, то СА=СВ, следовательно треугольник АСВ равнобедренный и СМ является также медианой и высотой. Аналогично, проекции равных отрезков на плоскость γ равны между собой НА=НВ, а НМ является биссектрисой, медианой и высотой в равнобедренном треугольнике АНВ.
Распишем искомый синус угла:
$\sin(ABC; \gamma)=\sin CMH= \frac{CH}{CM}$
Чтобы найти СН сделаем планиметрическую картинку треугольника АСН и запишем синус известного угла CAH:
$\sin CAH=\sin \alpha = \frac{CH}{AC} \Rightarrow CH=AC\sin \alpha$
Чтобы найти СМ аналогично изобразим картинку треугольника АСВ. Так как СМ - биссектриса, то угол АСМ равен (β/2). Рассмотрим треугольник АСМ:
$\cos ACM=\cos \frac{ \beta }{2}= \frac{CM}{AC} \Rightarrow CM=AC\cos\frac{ \beta }{2}$
Подставляем найденные величины в формулу для синуса искомого угла:
$\sin(ABC; \gamma)= \cfrac{CH}{CM} = \cfrac{AC\sin \alpha}{AC\cos\frac{ \beta }{2}} =\cfrac{\sin \alpha}{\cos\frac{ \beta }{2}}$
Ответ: sin(α)/cos(β/2)