Question

1)В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведены биссектрисы АА₁ и ВВ₁, пересекающиеся в точке I. Найдите угол AIB₁
2)На высоте ВВ₁ треугольника АВС есть такая точка О, что АО=ОС. Расстояние от точки О до стороны АВ равно 1см. Найдите расстояние от точки О до стороны ВС
ЭТО ДВЕ РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ. РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТА С ПОЯСНЕНИЯМИ.
7 класс.

Answer 1

$1)\ <AIB_1=180'-<AIB=180'-(180'-<BAA_1-<ABB_1)=\\ =<BAA_1+<ABB_1=\frac{1}{2}<BAC+\frac{1}{2}<ABC=\\=\frac{1}{2}(<BAC+<ABC) =\frac{1}{2}(180'-<ACB)=\frac{1}{2}(180'-90')=\\ =\frac{1}{2}*90'=45'$
2) Рассмотрим треугольник AOC - равнобедренный, т.к. AO=OB: в нём OB_1 является высотой (так как BB_1 - высота), значит, OB_1 - медиана, а значит, AB_1=B_1C
Рассмотрим треугольник ABC: BB_1 - высота (по условию задачи) и медиана (так как AB_1=B_1C по доказанному), значит ABC - равнобедренный треугольник, и BB_1 - биссектриса угла В.
Пусть расстояние от точки O до AB равно OM; OM = 1 по условию.
Пусть расстояние от точки O до BC равно ON.
Рассмотрим треугольники MOB и NOB -прямоугольные (<BMO=<BNO=90)
OB - общая сторона
<MBO=<NBO (т.к. BB_1 - биссектриса)
Значит, треугольники MOB и NOB равны по гипотенузе и острому углу, значит OM=ON=1
Ответ: 1