Question

Найдите наименьшее натуральное число, которое при умножении на 2 становится точным квадратом, а при умножении на 3 – точным кубом.

Answer 1

Наше число будем искать в виде $2^n3^kd$, где $n,k\ge 0$, $d\ge 1$ и $d$ не делится ни на 2 ни на 3. Заметим, что любое натуральное число можно представить в таком виде. Тогда по условию $2^{n+1}3^kd$ должно быть квадратом, а $2^n3^{k+1}d$ должно быть кубом, т.е. $n+1$ и $k$ делятся на 2, а $n$ и $k+1$ делятся на 3, и, кроме того, $d$ является одновременно и квадратом и кубом, т.е. является 6-ой степенью. Минимальное $n$, такое что оно делится на 3 и $n+1$ делится на 2  равно 3, т.е. $n=3$. Минимальное $k$, такое что оно делится на 2 и $k+1$ делится на 3  равно 2, т.е. $k=2$. Минимальное $d$, которое является 6-ой степенью равно 1. Итак, искомое число равно $2^33^2=72$. Ответ: 72.