Question

Вычислить:(комплексные числа)
$( \frac{1+i ^{11} }{2-7i ^{7} } ) ^{2}$

Answer 1

$i \\\ i^2=-1 \\\ i^3=i^2i=-i \\\ i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$

$(\frac{1+i^{11}}{2-7i ^7})^{2}= \frac{(1+i^{11})^2}{(2-7i^7)^2} =\frac{(1+i^4i^4i^3)^2}{(2-7i^4i^3)^2} = \frac{(1+i^3)^2}{(2-7i^3)^2}= \frac{(1-i)^2}{(2+7i)^2}= \\\ = \frac{1-2i+i^2}{4+28i+49i^2}= \frac{1-2i-1}{4+28i-49}= - \frac{2i}{28i-45}= - \frac{2i(28i+45)}{(28i-45)(28i+45)}= \\\ =- \frac{56i^2+90i}{(28i)^2-45^2}= - \frac{90i-56}{784i^2-2025}= - \frac{90i-56}{-784-2025}= \frac{90i-56}{2809}= - \frac{56}{2809} + \frac{90}{2809} i$

Answer 2

$( \frac{1+i^{11}}{2-7i^7} )^{2}$

теперь вспомним определение комплесного числа z=x+iy где i=√(-1) и спустим все эти степент до первой и избавимся от комплексного знаменателя

i^2=i*i=-1  i^3=i*i*i=-i   i^4=1 ..... i^7=-i      i^11=-i

для того чтобы избавится от комплесного знаменателя надо умножить на сопряженное число  z1=x-iy 

$( \frac{1-i}{2+7i} )^{2} = ( \frac{(1-i)(2-7i)}{((2+7i)(2-7i)} )^{2}= ( \frac{2-7i-2i+7ii}{4-49ii} )^{2} = \\ = ( \frac{2-9i-7}{4+49} )^{2} = ( \frac{-5-9i}{53} )^{2} = \frac{5^2+2*5*9i+81i^2}{2809}= \\ = \frac{25+90i-81}{2809}= \frac{-56+90i}{2809} = -\frac{56}{2809} + \frac{90}{2809} *i$