Question

помогите с логарифмами
решить систему уравнений:

Answer 1

$\left \{ {{\log_4x-\log_2y=0} \atop {x^2-2y^2-8=0}} \right.$
ОДЗ: x>0, y>0
Воспользуемся формулами перехода к новому основанию
$\log_ab= \frac{\log_cb}{\log_ca}$
$\left \{ {{ \frac{\log_2x}{\log_24}-\log_2y=0 } \atop {x^2-2y^2-8=0}} \right. \Leftrightarrow \,\, \left \{ {{\log_2 \sqrt{x} =\log_2y} \atop {x^2-2y^2-8=0}} \Leftrightarrow \,\, \left \{ {{y= \sqrt{x} } \atop {x^2-2( \sqrt{x} )^2-8=0}} \right. \right. \\ x^2-2x-8=0$
Сделать нужно еще что x≥0
по т. Виета корни уравнения будут
$x_1=-2$ - не удовлетворяет условие при t≥0
$x_2=4 \\ y=2$

Ответ: $(4;2)$

$\left \{ {{4^{x+y}=2^{y-x}} \atop {4^{\log_{ \sqrt{2} }x}=y^4-5} \right. \Leftrightarrow \,\, \left \{ {{2^{2x+2y}=2^{y-x}} \atop {(2^2)^{\log_ \sqrt{2} }x}=y^4-5}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{2x+2y=y-x} \atop {x^4=y^4-5}} \right. \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \left \{ {{3x+y=0} \atop {x^4-y^4+5=0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=-3x} \atop {x^4-(-3x)^4+5=0}} \right. \\ x^4-81x^4+5=0 \\ -80x^4+5=0 \\ x^4= \frac{1}{16} \\ x= \frac{1}{2} \\ y=- \frac{3}{2}$

Ответ: $( \frac{1}{2} ;- \frac{3}{2} )$