Предмет: Геометрия,
автор: 71amepiv
площа прямокутної трапеції дорівнює S, гострий кут дорівнює a. Знайти висоту трапецii, якщо ii менша дiагональ дорiвнюэ бiльшiй основi.
Площадь прямоугольной трапеции равна S, острый угол равен a. Найти высоту трапецii, если ii меньше диагоналей дорiвнюэ большем основе.
Ответы
Автор ответа:
1
Обозначим трапецию (слева снизу по часовой стрелке) ABCD. Пусть прямой угол будет D. Значит высота будет CD. Тогда малая диагональ BD и она равна по условию AD, т.е. треугольник ADB - равнобедренный, BD=AD, <ABD=<BAD = a
Тогда <ADB = 180 -2*a, а <BDC= 90 - <ADB = 2*a -90
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
S=(AD+BC)* CD/2
Выразим AD и BC через высоту
BC= CD* tg<BDC=CD*tg(2*a-90)
BD= CD/cos(2*a-90), но AD=BD, значит
AD=CD/cos(2*a-90)
(CD*tg(2*a-90)+CD/cos(2*a-90))*CD/2= S
(CD*sin(2*a-90) +CD)*CD/(2*cos(2*a-90)=S
sin (2*a-90)+1
CD^2 * --------------------- = S
2*cos(2*a-90)
2*S*cos(2*a-90)
CD =корень(--------------------- )
sin (2*a-90)+1
Тогда <ADB = 180 -2*a, а <BDC= 90 - <ADB = 2*a -90
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
S=(AD+BC)* CD/2
Выразим AD и BC через высоту
BC= CD* tg<BDC=CD*tg(2*a-90)
BD= CD/cos(2*a-90), но AD=BD, значит
AD=CD/cos(2*a-90)
(CD*tg(2*a-90)+CD/cos(2*a-90))*CD/2= S
(CD*sin(2*a-90) +CD)*CD/(2*cos(2*a-90)=S
sin (2*a-90)+1
CD^2 * --------------------- = S
2*cos(2*a-90)
2*S*cos(2*a-90)
CD =корень(--------------------- )
sin (2*a-90)+1
Автор ответа:
2
Трапеция АВСД: А =В = 90гр
пусть большее основание равно АД = а, а меньшее равно ВС = в, высота трапеции АВ = Н, угол Д = α
По условию диагональ АС = АВ (большей стороне), тогда ΔАСД равнобедренный и АС = а, а угол АСД = α
В прямоугольном ΔАВС гипотенуза АС = а, катет АВ = Н и угол АСВ = 180 - 2α.
Выразим а и в через Н:
а = Н/sin (180 - 2α) = H/sin 2α
b = H/tg (180 - 2α) = -H/tg 2α
Площадь трапеции S = 0.5(a + b)·H
S = 0.5(H/sin2α -H/tg 2α)·H
S = 0.5H²(1/sin 2α - cos2α/sin2α)
S = 0.5H²(1 - cos 2α)/sin 2α
S = 0.5H² · 2sin²α/(2sin α · cos α)
S = 0.5H² · sin α/ cos α
S = 0.5H² · tg α
H² = 2S/tg α
H² = 2S ·ctg α
H = √(2S·ctg α)
пусть большее основание равно АД = а, а меньшее равно ВС = в, высота трапеции АВ = Н, угол Д = α
По условию диагональ АС = АВ (большей стороне), тогда ΔАСД равнобедренный и АС = а, а угол АСД = α
В прямоугольном ΔАВС гипотенуза АС = а, катет АВ = Н и угол АСВ = 180 - 2α.
Выразим а и в через Н:
а = Н/sin (180 - 2α) = H/sin 2α
b = H/tg (180 - 2α) = -H/tg 2α
Площадь трапеции S = 0.5(a + b)·H
S = 0.5(H/sin2α -H/tg 2α)·H
S = 0.5H²(1/sin 2α - cos2α/sin2α)
S = 0.5H²(1 - cos 2α)/sin 2α
S = 0.5H² · 2sin²α/(2sin α · cos α)
S = 0.5H² · sin α/ cos α
S = 0.5H² · tg α
H² = 2S/tg α
H² = 2S ·ctg α
H = √(2S·ctg α)
Похожие вопросы
Предмет: История,
автор: holidayq13
Предмет: Литература,
автор: lilya201153
Предмет: Алгебра,
автор: Munojothon
Предмет: Математика,
автор: aygh1963
Предмет: Математика,
автор: max35613