Question

каждое из восьми натуральных чисел меньше 16, причём все числа различные. Докажите, что среди их попарных разностей есть по крайней мере три одинаковые

Answer 1

Количество положительных разностей из 8 чисел равно $C_8^2=7\cdot 8/2=28$. Каждая разность - это число от 1 до 14. Причем разность 14, может достигаться только один раз (только, если вычитались 15 и 1). Значит, если среди этих 28-и разностей не будет 3-х одинаковых, то каждое значение от 1 до 14 должно встретиться ровно 28/14=2 раза. Но, как уже сказано, разность 14 может встретиться только 1 раз. Значит обязательно будет как минимум 3 одинаковых разности.