Question

четырехугольник MNKP задан координатами своих вершин м(5;-3) n(1;2) к(4;4) р(6;1).найдите синус угла между диагоналями. Очень надо, помогите:(((((

Answer 1

Найдем координаты векторов MK и NP:

$\overrightarrow{MK}=\Big(4-1;4-(-3)\Big)=\Big(-1;7\Big)\\\\\overrightarrow{NP}=\Big(6-1;1-2\Big)=\Big(5;-1\Big)$

Найдем их модули:

$|\overrightarrow{MK}|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-1)^2+7^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\\\\|\overrightarrow{NP}|=\sqrt{5^2+(-1)^2}=\sqrt{26}$

Найдем их скалярное произведение (в координатах)

$\overrightarrow{MK}*\overrightarrow{NP}=x_1*x_2+y_1*y_2=(-1)*5+7*(-1)=-5-7=-12$

$\overrightarrow{MK}*\overrightarrow{NP}=|\overrightarrow{MK}|*|\overrightarrow{NP}|*cos\angle{KOP}\\\\\\cos\angle{KOP}=\dfrac{\overrightarrow{MK}*\overrightarrow{NP}}{|\overrightarrow{MK}|*|\overrightarrow{NP}|}=\dfrac{-12}{5\sqrt{2}*\sqrt{26}}=\dfrac{-12}{5*2*\sqrt{13}}=-\dfrac{6}{5\sqrt{13}}$

По основному тригонометрическому тождеству:

$sin^2\angle{KOP}+cos^2\angle{KOP}=1\\\\sin^2\angle{KOP}=1-cos^2\angle{KOP}\\\\sin\angle{KOP}=+\sqrt{1-cos^2\angle{KOP}}=\sqrt{1-\bigg(-\dfrac{6}{5\sqrt{13}}\bigg)^2}=\\\\=\sqrt{1-\dfrac{36}{325}}=\sqrt{\dfrac{289}{325}}=\dfrac{17}{5\sqrt{13}}$

Ответ:   $\dfrac{17}{5\sqrt{13}}$